习题1.8第1题答案
答案：对角线相等的菱形是正方形.
已知：如下图所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC
求证：四边形ABCD是正方形
证明：∵四边形ABCD是菱形
∴AD=BC
又∵AB=BA,BD=AC
∴△ABD≌△BAC（SSS）
∴∠DAB=∠CBA
又∵AD//bc
∴∠dab+∠cba=180°
∴∠DAB=∠CBA=90°
∴四边形ABCD是正方形
习题1.8第2题答案
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AD=CB,AD//CB
∴∠ADF=∠CBE
在△ADF和=∠CBE中
∴△ADF≌△CBE（SAS）
∴AF=CF,∠AFD=∠CEB
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠CEB+∠CEF=180°
∴∠AFE=∠CEF（等角的补角相等）
∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∵AD=AB
∴∠ADF=∠ABE
在△AFD和AEB中
∴△AFD≌△AEB（SAS）
∴AF=AE
∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
习题1.8第3题答案
解：四边形EFGH是正方形
在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°
因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH
即BE=CF=DG=AH
所以△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS）
所以∠AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH是菱形
因为∠AEH+∠AHE=90°
所以∠DHG+∠AHE=90°
所以∠EHG=90°
所以菱形EFGH是正方形.
习题1.8第4题答案
解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4
证明如下：重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD= 1/4S正方形ABCD
重叠部分为四边形是，如下图所示：
设OA'与AB相交于点E,OC'与BC相交于点F
∵四边形ABCD是正方形
∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，AO⊥BD
又∵∠AOE=90°-∠EOB,∠BOF=90°-∠EOB
∴∠AOE=∠BOF
∴△AOE≌△BOF
∴S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE
∴S△AOB=S四边形EBFO
又∵S△AOB=1/4 S正方形EBFO
∴S四边形EBFO=1/4 S正方形ABCD
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